课题进展07-文献阅读

《基于概率数据关联和容积卡尔曼滤波的多目标跟踪》

1. 研究问题

传统单平台纯方位跟踪需要观测平台机动性高于目标才能保证系统可观测性，为克服这一问题，作者采用多个固定传感器协同观测，融合多传感器信息以估计目标状态。

主要挑战为：

非线性测量模型：方位角与目标位置之间为非线性关系

多目标数据关联：多个传感器同时接收到多个目标的方位测量，需正确匹配测量值与目标。

非线性滤波：传统卡尔曼滤波不适用于非线性系统。

2. 方法框架

（1）状态空间模型与测量模型

目标状态向量为：

$\mathbf{x}_{k}=\left[ x_{k} , \dot{x}_{k} , y_{k} , \dot{y}_{k} \right]^{\mathrm{T}}$

状态模型：

$\begin{array} {r c} {\mathbf{x}_{k}=f \left( \mathbf{x}_{k-1} \right)+\mathbf{v}_{k-1}} \\ {=\mathbf{F} \mathbf{x}_{k-1}+\mathbf{v}_{k-1}} \\ \end{array}$

其中$F$为状态转移矩阵，作用是根据上一时刻的状态预测当前时刻的状态

$v_{k-1}$为过程噪声，代表目标运动中未被模型捕获的随机扰动（如加速度波动、风浪等），假设过程噪声为零均值高斯白噪声。

其协方差矩阵 Q 描述了这些扰动的强度和在不同状态分量上的相关性。

${\bf F}=\left[ \begin{array} {c c c c} {1} & {\Delta{\bf T}} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {\Delta{\bf T}} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ \end{array} \right]$

$\Delta{\bf T}$为采样间隔

测量模型：

$z_{k}^{n}=\operatorname{arctan} \left( \frac{y_{k}-y_{s}^{n}} {x_{k}-x_{s}^{n}} \right)+w_{k}^{n}$

即传感器n测得的目标方位角

$w_k$为测量噪声，相当于传感器的测量误差。假设为零均值高斯白噪声

（2）CKF(容积卡尔曼滤波)

CKF的引入

在贝叶斯滤波框架下，预测和更新步骤都需要计算形如以下的多维积分

$\int_{\mathbb{R}^{m}} g ( \mathbf{x} ) \cdot\mathcal{N} ( \mathbf{x} ; \hat{\mathbf{x}} , \mathbf{P} ) \, d \mathbf{x}$

这个积分在非线性情况下没有解析解，EKF用一阶泰勒近似，UKF用二阶sigma点近似，而CKF使用三阶球面-径向容积规则，用2m个确定性点（m为状态维数）精确逼近上述积分。

核心思想：球面-径向容积规则

CKF 的出发点是：将高斯加权积分分解为球面积分和径向积分两部分，然后用三阶规则近似。

设$\mathbf{x}=\hat{\mathbf{x}}+\sqrt{\mathbf{P}} \boldsymbol{\xi}$，其中${\boldsymbol{\xi}} \sim{\mathcal{N}} ( {\bf0} , {\bf I} )$，则积分可写为：

$\int_{\mathbb{R}^{m}} g ( \mathbf{x} ) \mathcal{N} ( \mathbf{x} ; \hat{\mathbf{x}} , \mathbf{P} ) d \mathbf{x}=\frac{1} {\sqrt{( 2 \pi)^{m}}} \int_{\mathbb{R}^{m}} g ( \hat{\mathbf{x}}+\sqrt{\mathbf{P}} \boldsymbol{\xi} ) e^{-\frac{1} {2} \boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}} d \boldsymbol{\xi}$

CKF 采用三阶球面-径向容积规则，得到如下近似：

$\int_{\mathbb{R}^{m}} g ( \mathbf{x} ) \mathcal{N} ( \mathbf{x} ; \hat{\mathbf{x}} , \mathbf{P} ) d \mathbf{x} \approx\frac{1} {2 m} \sum_{i=1}^{2 m} g \left( \hat{\mathbf{x}}+\sqrt{\mathbf{P}} \boldsymbol{\xi}_{i} \right)$

优点：

相较于 EKF（扩展卡尔曼滤波），CKF 无需计算雅可比矩阵，避免了线性化误差。
相较于 UKF（无迹卡尔曼滤波），CKF 具有更高的数值稳定性和计算效率。

graph TD
  A[初始化] --> B[生成容积点/权重]
  B --> C[预测步骤]
  C --> D[更新步骤]
  D --> E{下一时刻?}
  E -->|是| C
  E -->|否| F[结束]

（3）PDA(概率数据关联算法)

含义：是一种在杂波环境下进行单目标跟踪的概率方法，在存在多个测量候选（包括来自目标的真实测量和杂波/虚警）的情况下，不强制选择一个测量作为目标来源，而是对所有候选测量赋予一个关联概率，然后用这些概率加权组合所有候选测量来更新目标状态。

核心思想：

假设：

每个时刻，最多只有一个测量来自被跟踪目标（其他均为杂波）。
测量集合${\bf z}{k}={z{k}^{1} , z{k}^{2} , \ldots, z{k}^{m_{k}} }$, 其中$m_k$为当前时刻的测量总数。
定义事件$\theta{i}$ 表示第i个测量是来自目标的真实测量，$\theta{0}$表示没有测量来自目标（全为杂波）

关联概率计算：

对于每个有效测量i，其关联概率$\beta_{i}$为：

$\beta_{i}=\frac{e_{i}} {b+\sum_{j=1}^{m_{k}} e_{j}} , \quad i=1 , \ldots, m_{k}$ $\beta_{0}={\frac{b} {b+\sum_{j=1}^{m_{k}} e_{j}}}$

其中：

$e{i}={\mathcal N} ( z{k}^{i} ; {\hat{z}}{k | k-1} , {\mathbf S}{k} )$ :测量似然（高斯分布）
$b=\lambda\cdot( 2 \pi)^{d / 2} {\sqrt{| {\bf S}{k} |}} \cdot{\frac{1-P{D}} {P_{D}}}$ ：杂波密度项

在论文中，作者做了简化：

假设所有测量均来自目标（无杂波），即$b=0,\beta_0=0$
且假设各测量的先验概率相等

所以：

$\beta_{i}=\frac{\mathcal{N} ( z_{k}^{i} ; \hat{z}_{k | k-1} , \mathbf{S}_{k} )} {\sum_{j=1}^{m_{k}} \mathcal{N} ( z_{k}^{j} ; \hat{z}_{k | k-1} , \mathbf{S}_{k} )}$